Question

在等差數(shù)列中，，．令，數(shù)列的前項(xiàng)和為．

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）是否存在正整數(shù)，（）,使得，，成等比數(shù)列？若存在，求出所有的，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

（1） （2） （3）存在滿足條件的正整數(shù)、，此時(shí)，

【解析】

試題分析：（1）因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，由可求首項(xiàng)及公差,進(jìn)而求得；

（2）由（1）和題意易求得，即可求得；

（3）由（2）知，，，，先假設(shè)存在正整數(shù)、 ，使得、、成等比數(shù)列，可得，即，整理可得（*）當(dāng)時(shí)，（*）式可化為 ，所以；當(dāng)時(shí)，，由得，此時(shí)無正整數(shù)解，即可求得結(jié)果．

試題解析：（1）設(shè)數(shù)列的公差為，由得

解得，∴

（2）∵

∴

（3）由（2）知，，，

假設(shè)存在正整數(shù)、 ，使得、、成等比數(shù)列，

則 ， 即

經(jīng)化簡(jiǎn)，得

∴

∴ （*）

當(dāng)時(shí)，（*）式可化為 ，所以

當(dāng)時(shí)，

又∵，∴（*）式可化為 ，所以此時(shí)無正整數(shù)解．

綜上可知，存在滿足條件的正整數(shù)、，此時(shí)，．

考點(diǎn)：等差數(shù)列的性質(zhì)；裂項(xiàng)求和；等比數(shù)列的性質(zhì)．