Question

設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-2ax．
（1）若函數(shù)y=f（x）的圖象在點(diǎn)（1，f（1））處的切線為直線l，且直線l與圓（x+1）²+y²=1相切，求a的值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)f（x）在x=1處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，再用點(diǎn)斜式寫出切線方程，再根據(jù)直線l與圓
（x+1）²+y²=1相切得到d=r，建立等式關(guān)系，解之即可求出a的值；
（2）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）依題意有，f′（x）=

1

x

-2a．
因此過（1，f（1））點(diǎn)的直線的斜率為1-2a，又f（1）=-2a，
所以，過（1，f（1））點(diǎn)的直線方程為y+2a=（1-2a）（x-1）．
即（2a-1）x+y+1=0
又已知圓的圓心為（-1，0），半徑為1，
依題意，

|1-2a+1|

(2a-1)2+1

=1，
解得a=

1

2

．
（2）依題知f（x）=lnx-2ax的定義域?yàn)椋?，+∞），
又知f′（x）=

1

x

-2a
因?yàn)閍＞0，x＞0，令

1

x

-2a＞0，則1-2ax＞0
所以在x∈（0，

1

2a

）時(shí)，f（x）=lnx-2ax是增函數(shù)；
在x∈（

1

2a

，+∞）時(shí)，f（x）=lnx-2ax是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及函數(shù)單調(diào)性和直線圓的位置關(guān)系的判定，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想，計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)題．