由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所圍成的圖形的面積的最小值是
 
分析:由圖形將陰影部分的面積用定積分表示出來,再利用定積分的運(yùn)算規(guī)則將面積表示為t的函數(shù),進(jìn)行判斷得出面積的最小值
解答:精英家教網(wǎng)解:由題意及圖象,曲線y=x2和直線y=t2交點(diǎn)坐標(biāo)是(t,t2
故陰影部分的面積是∫0t(t2-x2)dx+∫t1(-t2+x2)dx=(t2x-
1
3
x3)|0t+(-t2x+
1
3
x3)|t1=
4
3
t3-t2+
1
3

令p=
4
3
t3-t2+
1
3
,則p′=4t2-2t=2t(2t-1),知p=
4
3
t3-t2+
1
3
在(0,1)先減后增,在t=
1
2
時取到最小值,
故面積的最小值是
4
3
×(
1
2
)
3
-(
1
2
)
2
+
1
3
=
1
4

故答案為:
1
4
點(diǎn)評:本題考查求定積分,解題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象與函數(shù)解析式將面積用積分表示出來,利用積分的定義得到關(guān)于變量t的表達(dá)式,再研究其單調(diào)性求出最值,本題運(yùn)算量較大涉及到的考點(diǎn)較多,綜合性強(qiáng),運(yùn)算量大,極易因運(yùn)算、變形出錯.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為(  )
A、
2
3
B、
1
3
C、
1
2
D、
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由曲線y=x2和直線y=1圍成圖形的面積是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由曲線y=x2和直線x=0,x=1,y=t2,t∈(0,1)所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值為(  )

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

由曲線y=x2和直線y=t2(0<t<1),x=1,x=0所圍成的圖形(陰影部分)的面積的最小值是多少?

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案