Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a₂=1，且

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)，bn=

2n

an

．
（1）證明：

1

an

-

1

an-1

=

1

2

；
（2）求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知遞推關(guān)系式可判斷數(shù)列{

an-1-an

anan-1

}為常數(shù)列，結(jié)合a₁=2，a₂=1即可證明結(jié)論
（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，從而得

1

an

，進而確定b_n，最后利用錯位相減法求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答：解：（1）∵

an-1-an

anan-1

=

an-an+1

anan+1

(n≥2)
∴數(shù)列{

an-1-an

anan-1

}為常數(shù)列
∴

an-1-an

anan-1

=

1

an

-

1

an-1

=

a1-a2

a2a1

=

1

2

  （n≥2）
∴

1

an

-

1

an-1

=

1

2

（2）由（1）知{

1

an

}是以

1

2

為首項，

1

2

為公差的等差數(shù)列，
∴

1

an

=

n

2

，
∴bn=

2n

an

=n×2n-1
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+n×2^n-1，
2S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-Sn=1+21+22+…+2n-1-n×2n=

1-2n

1-2

-n×2n=(1-n)2n-1，
∴S_n=（n-1）2ⁿ+1．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推公式及其應(yīng)用，等差數(shù)列的定義及通項公式，錯位相減法求一般數(shù)列的前n項和