【題目】如圖,在四棱錐中,底面為菱形,,,平面平面,為等邊三角形,的中點(diǎn).

1)求證:平面平面;

2)若的中點(diǎn),求證:平面,并求四面體的體積.

【答案】(1)見解析;(2)

【解析】

1)先證明平面,再利用面面垂直的判定定理即可證明平面平面;(2)連結(jié)于點(diǎn),連結(jié),則先證明即可證明平面,四面體的體積要通過等積法轉(zhuǎn)化求得,即,而四面體的底面積,高為容易求得.

1)證明:因?yàn)?/span>為等邊的中點(diǎn),所以,

又因?yàn)樵诹庑?/span>中,,所以為等邊三角形,

的中點(diǎn),所以.,所以平面,

平面,所以平面平面.

2)連結(jié)于點(diǎn),連結(jié),如圖所示.

因?yàn)榈酌?/span>為菱形,中點(diǎn),中點(diǎn),所以,

平面,所以平面.

點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離,即.

由(1)知,平面平面,所以底面,

因?yàn)榈冗?/span>的邊長為2,所以.

又因?yàn)?/span>中點(diǎn),所以點(diǎn)到底面的距離為,

易知為邊長為2的等邊三角形,所以三棱錐的體積為:

.

故所求四面體的體積為.

練習(xí)冊系列答案
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