Question

已知三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1和x=-1時取極值，且f（-2）=-4．
（Ⅰ） 求函數(shù)y=f（x）的表達式；
（Ⅱ）若方程f（x）+m=0有三個不同的實數(shù)根，求實數(shù)的取值m范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求函數(shù)的解析式，只需找到關于a，b，c的三個方程即可，因為函數(shù)f（x）在x=±1時取得極值，所以當x=±1時，導數(shù)等于0，
則得到關于a，b的方程，即可解出a，b．又由f（-2）=-4，這樣就得到關于c的方程，解出c即可，進而可得函數(shù)y=f（x）的表達式；
（2）數(shù)形結合：關于x的方程f（x）+m=0有三個不同實根，等價于函數(shù)y=f（x）和y=-m圖象有三個交點，
利用導數(shù)求出f（x）的極大值、極小值，則-m介于兩者之間；

解答：解：（I）f′（x）=3x²+2ax+b，
由題意得，1，-1是3x²+2ax+b=0的兩個根，
解得，a=0，b=-3．
再由f（-2）=-4可得c=-2．
∴f（x）=x³-3x-2．
（Ⅱ）f′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，則x=-1或x=1

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	_	0	+
f（x）	增	極大值 f（-1）=0	減	極小值 f（1）=-4	增

依題意-4＜-m＜0則所求實數(shù)m的取值范圍是（0，4）

點評：本題考查函數(shù)在某點取得極值的條件及方程根的個數(shù)問題，注意函數(shù)在某點取得極值的充要條件為該點處導數(shù)為0，且兩側異號；方程根的個數(shù)問題往往利用數(shù)形結合思想轉化為函數(shù)的圖象交點個數(shù)．