已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(Ⅰ)若函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)如果當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍;
(Ⅲ)求證[(n+1)!]2>(n+1)•en-2(n∈N*).
分析:(Ⅰ)求出函數(shù)f(x)=
1+lnx
x
的極值,在探討函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,尋找關(guān)于a的不等式,求出
實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅱ)如果當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,把k分離出來,轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值.
(Ⅲ)借助于(Ⅱ)的結(jié)論證明不等式.
解答:解:(Ⅰ)因為f(x)=
1+lnx
x
,x>0,則f′(x)=-
lnx
x2
,
當(dāng)0<x<1時,f′(x)>0;當(dāng)x>1時,f′(x)<0.
所以f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增;在(1,+∞)上單調(diào)遞減,
所以函數(shù)f(x)在x=1處取得極大值.
因為函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
(其中a>0)上存在極值,
所以
a<1
a+
1
2
>1
,解得
1
2
<a<1

(Ⅱ)不等式f(x)≥
k
x+1

即為
(x+1)(1+lnx)
x
≥k
,記g(x)=
(x+1)(1+lnx)
x
,
所以g′(x)=
[(x+1)(1+lnx)]′x-(x+1)(1+lnx)
x2
=
x-lnx
x2

令h(x)=x-lnx,則h′(x)=1-
1
x
,∵x≥1,∴h′(x)≥0.
∴h(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,∴[h(x)]min=h(1)=1>0,
從而g′(x)>0
故g(x)在[1,+∞)上也單調(diào)遞增,
∴[g(x)]min=g(1)=2,所以k≤2
(3)由(2)知:f(x)>
2
x+1
恒成立,
lnx≥
x-1
x+1
=1-
2
x+1
>1-
2
x
,
令x=n(n+1),則ln[n(n+1)]>1-
2
n(n+1)
,
所以ln(1×2)>1-
2
1×2

ln(2×3)>1-
2
2×3
,ln(3×4)>1-
2
3×4
,
ln[n(n+1)]>1-
2
n(n+1)

疊加得:ln[1×22×32×n2×(n+1)]>n-2[
1
1×2
+
1
2×3
+
1
n(n+1)
]

=n-2(1-
1
n+1
)>n-2+
1
n+1
>n-2

則1×22×32×n2×(n+1)>en-2,
所以[(n+1)!]2>(n+1)•en-2(n∈N*
點評:考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值最值問題,有關(guān)恒成立的問題一般采取分離參數(shù),轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法,證明數(shù)列不等式,借助函數(shù)的單調(diào)性或恒成立問題加以證明.屬難題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)、已知函數(shù)f(x)=
1+
2
cos(2x-
π
4
)
sin(x+
π
2
)
.若角α在第一象限且cosα=
3
5
,求f(α)

(2)函數(shù)f(x)=2cos2x-2
3
sinxcosx
的圖象按向量
m
=(
π
6
,-1)
平移后,得到一個函數(shù)g(x)的圖象,求g(x)的解析式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=(1-
a
x
)ex
,若同時滿足條件:
①?x0∈(0,+∞),x0為f(x)的一個極大值點;
②?x∈(8,+∞),f(x)>0.
則實數(shù)a的取值范圍是( 。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+lnx
x

(1)如果a>0,函數(shù)在區(qū)間(a,a+
1
2
)
上存在極值,求實數(shù)a的取值范圍;
(2)當(dāng)x≥1時,不等式f(x)≥
k
x+1
恒成立,求實數(shù)k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
1+
1
x
,(x>1)
x2+1,(-1≤x≤1)
2x+3,(x<-1)

(1)求f(
1
2
-1
)
與f(f(1))的值;
(2)若f(a)=
3
2
,求a的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在D上的函數(shù)f(x)如果滿足:對任意x∈D,存在常數(shù)M>0,都有|f(x)|≤M成立,則稱f(x)是D上的有界函數(shù),其中M稱為函數(shù)f(x)的上界.已知函數(shù)f(x)=
1-m•2x1+m•2x

(1)m=1時,求函數(shù)f(x)在(-∞,0)上的值域,并判斷f(x)在(-∞,0)上是否為有界函數(shù),請說明理由;
(2)若函數(shù)f(x)在[0,1]上是以3為上界的有界函數(shù),求m的取值范圍.

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