Question

已知函數(shù)f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，且f（x）=0的一個(gè)根為-b
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）求證：f（x）=0還有不同于-b的實(shí)根x₁、x₂，且x₁、-b、x₂成等差數(shù)列；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的極大值小于16，求f（1）的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，可得x=0是極大值點(diǎn)，從而f'（0）=0，故可求c的值；
（Ⅱ）令f'（x）=0，得x=0或-2b，根據(jù)-b是方程f（x）=0的一個(gè)根，可得f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²），從而可得方程x²+2bx-2b²=0的根的判別式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0，結(jié)合（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，可得結(jié)論；
（Ⅲ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知x=0是極大值點(diǎn)，從而可得-2＜b≤-1，構(gòu)造函數(shù)g（b）=f（1）=-2b³+3b+1，可得g（b）在（-2，-1]上單調(diào)遞減，即可求得f（1）的取值范圍．

解答：（Ⅰ）解：求導(dǎo)函數(shù)，可得f'（x）=3x²+6bx+c
∵函數(shù)f（x）=x³+3bx²+cx+d在（-∞，0）上是增函數(shù)，在（0，2）上是減函數(shù)，
∴x=0是極大值點(diǎn)，
∴f'（0）=0，∴c=0…（2分）
（Ⅱ）證明：令f'（x）=0，得x=0或-2b
由f（x）的單調(diào)性知-2b≥2，∴b≤-1
∵-b是方程f（x）=0的一個(gè)根，則（-b）³+3b（-b）²+d=0⇒d=-2b³
∴f（x）=x³+3bx²-2b³=（x+b）（x²+2bx-2b²）…（4分）
方程x²+2bx-2b²=0的根的判別式△=4b²-4（-2b²）=12b²＞0
又（-b）²+2b（-b）-2b²=-3b²≠0，
即-b不是方程x²+2bx-2b²=0的根，∴f（x）=0有不同于-b的根x₁、x₂．
∵x₁+x₂=-2b，∴x₁、-b、x₂成等差數(shù)列                   …（8分）
（Ⅲ）解：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性可知x=0是極大值點(diǎn)
∴f（0）＜16⇒-2b³＜16，∴b＞-2，于是-2＜b≤-1
令g（b）=f（1）=-2b³+3b+1
求導(dǎo)g'（b）=-6b²+3-2＜b≤-1時(shí)，g'（b）＜0，
∴g（b）在（-2，-1]上單調(diào)遞減
∴g（-1）≤g（b）＜g（-2）
即0≤f（1）＜11…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的極值，考查函數(shù)的單調(diào)性，正確運(yùn)用導(dǎo)數(shù)是關(guān)鍵．