Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求整數(shù)的最小值；

（3）若，正實(shí)數(shù)，滿足，證明：.

Answer 1

【答案】（1）； （2）2； （3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）利用，確定的值，求出到函數(shù)，從而確定函數(shù)的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解；

（3）由，整理得，令，由，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最值，即可求解.

（1）由，可得，所以，，

，

由，得，解得或，

又因?yàn)?/span>，所以，所以的單調(diào)遞減區(qū)間為.

（2）令，

所以.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，所以，所以在上是遞增函數(shù).

又因?yàn)?/span>，

所以關(guān)于的不等式不能恒成立.

當(dāng)時(shí)，，

令，得.所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

因此函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，

故函數(shù)的最大值為，

令，因?yàn)?/span>，，

又因?yàn)?/span>在上是減函數(shù)，

所以當(dāng)時(shí)，.所以整數(shù)的最小值為2.

（3）當(dāng)時(shí)，，，

由，得，

從而，

令，則由，得，

可知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

所以，所以，

因此成立，

又因?yàn)?/span>，所以.