Question

12．已知0＜α＜$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＜β＜π，且cos（α+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{3}$，cos（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
（1）求cosβ的值；            
（2）求cos（2α+β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）的值，利用誘導公式，二倍角公式即可解得得解．
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關系式可求sin（α+$\frac{π}{4}$）的值，利用α+$\frac{β}{2}$=（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）兩角差的正弦函數(shù)公式可求sin（α+$\frac{β}{2}$）的值，進而利用二倍角的余弦函數(shù)公式可求cos（2α+β）的值．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）∵$\frac{π}{2}$＜β＜π，
∴-$\frac{π}{4}$＜$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$＜0，
∴sin（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=-$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=-$\frac{1}{3}$，
∴cosβ=sin（$\frac{π}{2}$-β）=sin[2（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=2×$（-\frac{1}{3}）×\frac{2\sqrt{2}}{3}$=-$\frac{4\sqrt{2}}{9}$…6分
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$＜α+$\frac{π}{4}$＜$\frac{3π}{4}$，
∴sin（α+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{1-（\frac{1}{3}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴sin（α+$\frac{β}{2}$）=sin[（α+$\frac{π}{4}$）-（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）]=$\frac{2\sqrt{2}}{3}×\frac{2\sqrt{2}}{3}$-$\frac{1}{3}×（-\frac{1}{3}）$=1，
∴cos（2α+β）=cos[2（α+$\frac{β}{2}$）]=1-2sin²（α+$\frac{β}{2}$）=1-2×1²=-1…12分

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關系式，誘導公式，二倍角公式，兩角差的正弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于中檔題．