【題目】已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3.
(1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
(3)探討函數(shù)F(x)=lnx﹣ + 是否存在零點?若存在,求出函數(shù)F(x)的零點,若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)解:f(x)=xlnx,

f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,解得x=

① 當(dāng)0<t< 時,在x∈[t, )上f′(x)<0;在x∈( .t+2]上f′(x)>0.

因此,f(x)在x= 處取得極小值,也是最小值.fmin(x)=﹣

②當(dāng)t≥ ,f′(x)≥0,因此f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,

∴fmin(x)=f(t)=tlnt


(2)解:由對一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,

即有2xlnx≥﹣x2+ax﹣3.

即a≤2lnx+x+ 恒成立,

令h(x)=2lnx+x+ ,h′(x)= +1﹣ = = ,

當(dāng)x>1時,h′(x)>0,h(x)是增函數(shù),

當(dāng)0<x<1時,h′(x)<0,h(x)是減函數(shù),

∴a≤h(x)min=h(1)=4.

即實數(shù)a的取值范圍是(﹣∞,4]


(3)解:令m(x)=2xlnx,

m'(x)=2(1+lnx),

當(dāng)x∈(0, )時,m'(x)<0,m(x)遞減;

當(dāng)x∈( ,+∞)時,m'(x)>0,m(x)遞增;

∴m(x)的最小值為m( )=﹣ ,

則2xlnx≥﹣

∴l(xiāng)nx≥﹣ ,

F(x)=lnx﹣ + =0①

則F(x)=lnx﹣ + ≥﹣ + = ),

令G(x)= ,則G'(x)= ,

當(dāng)x∈(0,1)時,G'(x)<0,G(x)遞減;

當(dāng)x∈(1,+∞)時,G'(x)>0,G(x)遞增;

∴G(x)≥G(1)=0 ②

∴F(x)=lnx﹣ + ≥﹣ + = )≥0,

∵①②中取等號的條件不同,

∴F(x)>0,故函數(shù)F(x)沒有零點


【解析】(1)求得f′(x)=lnx+1,令f′(x)=0,可得x= .對t分類討論:當(dāng)0<m< 時,及當(dāng)t≥ 時,分別研究其單調(diào)性、極值與最值,即可得出;(2)由題意可得,2xlnx≥﹣x2+ax﹣3.即a≤2lnx+x+ 恒成立,令h(x)=2lnx+x+ ,求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得極小值且為最小值,由此求出實數(shù)a的取值范圍;(3)把函數(shù)整理成F(x)=lnx﹣ + ≥﹣ + = ),要判斷是否有零點,只需看F(x)的正負問題,令G(x)= ,利用導(dǎo)數(shù)分析G(x)的單調(diào)區(qū)間和最值,即可判斷是否存在零點.
【考點精析】利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值.

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