【題目】已知圓柱底面半徑為1,高為,是圓柱的一個(gè)軸截面,動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的側(cè)面到達(dá)點(diǎn),其距離最短時(shí)在側(cè)面留下的曲線如圖所示.將軸截面繞著軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后,邊與曲線相交于點(diǎn).
(1)求曲線的長(zhǎng)度;
(2)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)到平面的距離.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)將圓柱的一半展開,可知曲線的長(zhǎng)度為矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度.其中矩形的寬為圓柱的高,長(zhǎng)為底面的半圓長(zhǎng),即可求得曲線的長(zhǎng)度.
(2)當(dāng)時(shí),以底面的圓心O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.寫出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo),求得平面的法向量,即可求得點(diǎn)到平面的距離.
(1)曲線的長(zhǎng)度為矩形的對(duì)角線長(zhǎng)度.其中矩形的寬為圓柱的高,長(zhǎng)為底面的半圓長(zhǎng),
其中,底面的半圓長(zhǎng)為
∴的長(zhǎng)為
(2)當(dāng)時(shí),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系:
則有、、、,
所以、、.
設(shè)平面的法向量為,
則,代入可得,
令,得,
所以點(diǎn)到平面的距離為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知甲箱中裝有3個(gè)紅球,2個(gè)黑球,乙箱中裝有2個(gè)紅球,3個(gè)黑球,這些球除顏色外完全相同,某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng),規(guī)定顧客購物1000元以上,可以參與抽獎(jiǎng)一次,設(shè)獎(jiǎng)規(guī)則如下:每次分別從以上兩個(gè)箱子中各隨機(jī)摸出2個(gè)球,共4個(gè)球,若摸出4個(gè)球都是紅球,則獲得一等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金300元;摸出的球中有3個(gè)紅球,則獲得二等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金200元;摸出的球中有2個(gè)紅球,則獲得三等獎(jiǎng),獎(jiǎng)金100元;其他情況不獲獎(jiǎng),每次摸球結(jié)束后將球放回原箱中.
(1)求在1次摸獎(jiǎng)中,獲得二等獎(jiǎng)的概率;
(2)若3人各參與摸獎(jiǎng)1次,求獲獎(jiǎng)人數(shù)X的數(shù)學(xué)期望;
(3)若商場(chǎng)同時(shí)還舉行打9折促銷活動(dòng),顧客只能在兩項(xiàng)促銷活動(dòng)中任選一項(xiàng)參與.假若你購買了價(jià)值1200元的商品,那么你選擇參與哪一項(xiàng)活動(dòng)對(duì)你有利?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為菱形,∠APC=90°,∠BPD=120°,PB=PD.
(1)求證:平面APC⊥平面BPD;
(2)若AB=2AP=2,求三棱錐C-PBD的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn), 軸的正半軸為極軸,并在兩種坐標(biāo)系中取相同的長(zhǎng)度單位,點(diǎn)的極坐標(biāo)為,圓以為圓心,4為半徑;又直線的極坐標(biāo)方程為。
(Ⅰ)求直線和圓的普通方程;
(Ⅱ)試判定直線和圓的位置關(guān)系.若相交,則求直線被圓截得的弦長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)求函數(shù)在上的最大值和最小值;
(2)求證:當(dāng)時(shí),函數(shù)的圖象在的下方.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知,.
(1)若,判斷函數(shù)在的單調(diào)性;
(2)證明: ,;
(3)設(shè) ,對(duì),,有恒成立,求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下五個(gè)結(jié)論:
①函數(shù)是偶函數(shù);
②當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是;
③等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則;
④已知定義域?yàn)?/span>的函數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),成立.
函數(shù)的最小值4;
則上述結(jié)論中正確的是______(寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線C上的動(dòng)點(diǎn)P()滿足到定點(diǎn)A(-1,0)的距離與到定點(diǎn)B(1,0)距離之比為
(1)求曲線C的方程。
(2)過點(diǎn)M(1,2)的直線與曲線C交于兩點(diǎn)M、N,若|MN|=4,求直線的方程。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(100,100),則下列選項(xiàng)正確的是( )
(參考數(shù)值:隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布,則P(μ﹣σ<ξ<μ+σ)=0.6826),P(μ﹣2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544,P(μ﹣3σ<ξ<μ+3σ)=0.9974)
A.E(X)=100B.D(X)=100
C.P(X≥90)=0.8413D.P(X≤120)=0.9987
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