Question

（1）設0＜α＜π，π＜β＜2π，若對任意的x∈R，都有關(guān)于x的等式cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx=0恒成立，試求α，β的值；
（2）在△ABC中，三邊a，b，c所對的角依次為A，B，C，且2cos²C+

3

sin2C=3，c=1，S_△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左邊的第一項利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡，第二項利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化簡，整理后，得出等式恒成立時滿足的條件，并表示出sinβ和cosβ，根據(jù)同角三角函數(shù)間的平方關(guān)系sin²β+cos²β=1，可求出cosα的值，根據(jù)α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出α的度數(shù)，進而由sinα的值得到cosβ的值，再根據(jù)β的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出β的度數(shù)；
（2）把2cos²C+

3

sin2C=3的左邊第一項利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，利用特殊角的三角函數(shù)值求出C的度數(shù)，進而得到sinC的值，由三角形的面積公式S=

1

2

absinC，由面積S及sinC的值，求出ab的值，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式變形后，將c，cosC及ab的值代入，開方得到a+b的值，由ab的值及a+b的值聯(lián)立，再由a大于b可求出a與b的值．

解答：解：（1）cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx
=cosxcosα-sinxsinα+sinxcosβ+cosxsinβ+

2

cosx
=（cosα+sinβ+

2

）cosx+（cosβ-sinα）sinx=0，
得到此等式恒成立的充要條件是：

cosα+sinβ+ 2 =0 cosβ-sinα=0

，即

sinβ=-cosα- 2 cosβ=sinα

，
∵sin²β+cos²β=1，∴（-cosα-

2

）²+（sinα）²=1，即cosα=-

2

2

，
又0＜α＜π，可得α=

3π

4

，
∴cosβ=sinα=

2

2

，
而π＜β＜2π，可得：β=

7π

4

；
（2）∵2cos²C+

3

sin2C=1+cos2C+

3

sin2C=2sin（2C+

π

6

）+1=3，
∴sin（2C+

π

6

）=1，即2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

，
由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

，可得ab=2

3

①，又c=1，
根據(jù)余弦定理得：1=c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-4

3

-6，
即（a+b）²=4

3

+7=（2+

3

）²，
解得a+b=2+

3

②，又a＞b
聯(lián)立①②解得：a=2，b=

3

．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，等式恒成立時滿足的條件，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，三角形的面積公式，以及余弦定理，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．