Question

設(shè)函數(shù)f（x）=e^x﹣e^﹣x
（Ⅰ）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）≥2；
（Ⅱ）若對(duì)所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=e^x+e^﹣x．
由于，
故f'（x）≥2．（當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)，等號(hào)成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）﹣ax，則g'（x）=f'（x）﹣a=e^x+e^﹣x﹣a，
（i）若a≤2，當(dāng)x＞0時(shí)，g'（x）=ex+e﹣x﹣a＞2﹣a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
所以，x≥0時(shí)，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ii）若a＞2，方程g'（x）=0的正根為，
此時(shí)，若x∈（0，x₁），則g'（x）＜0，
故g（x）在該區(qū)間為減函數(shù)．
所以，x∈（0，x₁）時(shí)，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，與題設(shè)f（x）≥ax相矛盾．
綜上, 滿足條件的a的取值范圍是（﹣∞，2]．