Question

（1）設(shè)M（x₀，y₀）為拋物線y²=2x上的一個(gè)定點(diǎn)，過M作拋物線的兩條互相垂直的弦MPMQ，求證：PQ恒過定點(diǎn)M′（x₀+2，2-y₀）
（2）直線x+my+1=0與拋物線y²=2x交于點(diǎn)P，Q，在拋物線上是否存在點(diǎn)M，使得△MPQ為以PQ為斜邊的直角三角形？

Answer 1

分析：（1）設(shè)PQ的方程為y=mx+n，代入y²=2x．得y²-2my-2n=0，然后由根與系數(shù)的關(guān)系可以得到直線PQ的方程為x=my+my₀+x₀+2，它一定過焦點(diǎn)M′（x₀+2，-y₀）．
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為滿足條件的點(diǎn)，則由（1）知，M′（x₀+2，-y₀）在直線x+my+1=0上，所以x₀+2-my+1=0，
由題設(shè)知y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0，所以存在點(diǎn)M滿足條件．

解答：（1）證明：設(shè)PQ的方程為y=mx+n，代入y²=2x
得y²-2my=-2n=0
∴y₁+y₂=2m，y₁y₂-2n其中y₁，y₂分別是P，Q的縱坐標(biāo)
∵M(jìn)P⊥Mu∴k_max•k_min=-1（3分）
即

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=1
∴（y₁+y₀）（y₂+y₀）=-4
•y₁y₂+（y₁+y₂）y₀+y₀²-4=0
（-2n）+2my₀+2x₀+4=0，
=my₀+x₀+2
直線PQ的方程為x=my+my₀+x₀+2，
即x=m（y+y₀）+x₀+2，它一定過焦點(diǎn)M′（x₀+2，-y₀）（6分）
（2）設(shè)M（x₀，y₀）為滿足條件的點(diǎn)，
則由（1）知，M′（x₀+2，-y₀）在直線x+my+1=0上，所以x₀+2-my+1=0，
（x₀，y₀）是方程組

y2=2x x-my+3=0

的解，
消去x得y²-2my+6=0，△=4m²-24≥0
∴存在點(diǎn)M滿足條件．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐的綜合問題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．