Question

【題目】設(shè)f（x）=﹣ x3+ x2+2ax．
（1）若f（x）在（ ，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（2）當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）在[1，4]上的最小值為﹣ ，求f（x）在該區(qū)間的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 ．

當(dāng) 時(shí)，f'（x）的最大值為 ．

因?yàn)閒（x）在 上是單調(diào)減函數(shù)，則f'（x）≤0在 上成立，

所以 ，解得 ，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為

（2）解：令 ．

因?yàn)楫?dāng)x＜x1或x＞x2時(shí)f'（x）＜0，當(dāng)x1＜x＜x2時(shí)f'（x）＞0

所以f（x）在（﹣∞，x1）和（x2，+∞）上單調(diào)遞減，在（x1，x2）上單調(diào)遞增．

當(dāng)0＜a＜2時(shí)，有x1＜1＜x2＜4，所以f（x）在[1，4]上的最大值為f（x2），

又 ．

所以f（x）在[1，4]上的最小值為 ．

得a=1，x2=2，從而f（x）在[1，4]上的最大值為

【解析】（1）由已知得f′（x）=﹣x2+x+2a，求出函數(shù)的最值，繼而得到a的取值范圍．（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出極值點(diǎn)．在判斷函數(shù)的再某個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到最值．
【考點(diǎn)精析】根據(jù)題目的已知條件，利用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以得到問題的答案，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值．