Question

已知函數(shù)f（x）=x²+xsinx，x∈（-

π

2

，

π

2

），則下列式子成立的是（　　）

• A、f(-1)＜f(

  1

  2

  )＜f(

  3

  2

  )
• B、f(

  1

  2

  )＜f(-1)＜f(

  3

  2

  )
• C、f(

  1

  2

  )＜f(

  3

  2

  )＜f(-1)
• D、f(

  3

  2

  )＜f(-1)＜f(

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由奇偶性的定義得到函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)f（x）在(0，

π

2

)上為增函數(shù)，則函數(shù)在(-

π

2

，0)上為減函數(shù)．結(jié)合單調(diào)性和奇偶性即可判斷出答案．

解答：解：函數(shù)f（x）=x²+xsinx，x∈（-

π

2

，

π

2

），定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f（-x）=（-x）²+（-x）sin（-x）=x²+xsinx=f（x）．
∴函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，∴f（-1）=f（1）．
又當(dāng)x∈(0，

π

2

)時(shí)，f′（x）=2x+sinx+x•cosx＞0．
∴f（x）在(0，

π

2

)上為增函數(shù)，則f（x）在(-

π

2

，0)上為減函數(shù)．
∵

1

2

＜1＜

3

2

，
∴f(

1

2

)＜f(1)＜f(

3

2

)，
則f(

1

2

)＜f(-1)＜f(

3

2

)．
故選：B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)函數(shù)符號(hào)之間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題．