Question

某人2011年初向銀行申請個人住房公積金貸款a（a＞0）元購買住房，年利率為r（r＞0），按復(fù)利計算，每年等額還貸一次，并從貸款后的次年初開始還貸，如果10年還清，每年應(yīng)還款

ar(1+r)10

(1+r)10-1

元．（用a，r表示）

Answer 1

分析：設(shè)年還款額設(shè)為x，則各年份所欠銀行貸款為：第一年：a元，第二年：a（1+r）-x元，第三年：[a（1+r）-x）（1+r）-x=a（1+r）²-x[1+（1+r）]，第四年：{[a（1+r）-x]（1+r）-x}（1+r）-x=a（1+r）³-x[1+（1+r）+（1+r）²]，…，由此可得第n年后所欠銀行貸款為：a（1+r）ⁿ-x[1+（1+r）+（1+r）²+…+（1+r）^n-1]=a（1+r）ⁿ-

x[(1+r)n-1]

r

．由還款總期數(shù)為10，也即第10年剛好還完銀行所有貸款，得a(1+r) 10-

x[(1+r) 10-1]

r

=0，由此能求出結(jié)果．

解答：解：設(shè)年還款額設(shè)為x，
則各年份所欠銀行貸款為：
第一年：a元，
第二年：a（1+r）-x元，
第三年：[a（1+r）-x）（1+r）-x=a（1+r）²-x[1+（1+r）]，
第四年：{[a（1+r）-x]（1+r）-x}（1+r）-x=a（1+r）³-x[1+（1+r）+（1+r）²]，
…
由此可得第n年后所欠銀行貸款為：
a（1+r）^n-1-x[1+（1+r）+（1+r）²+…+（1+r）^n-2]=a（1+r）^n-1-

x[(1+r)n-1-1]

r

．
∵還款總期數(shù)為10，也即第10年剛好還完銀行所有貸款，
∴第11年年所欠銀行貸款為：
a(1+r) 10-

x[(1+r) 10-1]

r

=0，
解得x=

ar(1+r)10

(1+r)10-1

．
故答案為：

ar(1+r)10

(1+r)10-1

．

點評：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，具有一定的難度．解題時要認真審題，解題的關(guān)鍵是推導(dǎo)出第n年后所欠銀行貸款為：a（1+r）^n-1-x[1+（1+r）+（1+r）²+…+（1+r）^n-2]=a（1+r）^n-1-

x[(1+r)n-1-1]

r

．本對數(shù)學(xué)思維的要求比較高，有一定的探索性．綜合性強，難度大，易出錯．