Question

（本小題滿分14分）下圖是一個三角形數(shù)陣．從第二行起每一個數(shù)都等于它肩上兩個數(shù)的和，第行的第一個數(shù)為．

（Ⅰ）寫出與的遞推關(guān)系，并求；
（Ⅱ）求第行所有數(shù)的和；
（Ⅲ）求數(shù)陣中所有數(shù)的和；并證明：當(dāng)時，．

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）（，證明見解析。

（Ⅰ）由題意得，
，
由以上歸納可得：，               （2分）
∴，
∴數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
∴ ，∴．               （4分）
（Ⅱ）由數(shù)陣的排布規(guī)律可知，每行的數(shù)（倒數(shù)兩行另行考慮）都成等差數(shù)列，
且公差依次為：1，2， ，…，，…
第行的首項為，項數(shù)為，公差為
∴

           （7分）
當(dāng)時，符合上式；
當(dāng)時，由排布規(guī)律知，也符合上式；
∴．                   （8分）
（Ⅲ）

令                     （1）
       （2）
得
∴
∴（ （12分）
又
∴當(dāng)時，
又
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號）．
∴當(dāng)時,．                                              （14分）