Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax²+bx+1，a＞0，b∈R 的最小值為-a，f（x）=0兩個實根為x₁、x₂．
（1）求x₁-x₂的值；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＜0解集為A，函數(shù)f（x）+2x在A上不存在最小值，求a的取值范圍；
（3）若-2＜x₁＜0，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，知，由此能求出x₁-x₂的值．
（2）設(shè)x₁＜x₂，f（x）+2x=ax²-（a（x₁+x₂）-2）x+ax₁x₂，在（x₁，x₂）不存在最小值，由此能求出a的取值范圍．
（3）由，，知．由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（1）∵
∴
∴x₁-x₂=±2．（4分）
（2）不妨設(shè)x₁＜x₂；f（x）+2x=ax²-（a（x₁+x₂）-2）x+ax₁x₂，在（x₁，x₂）不存在最小值，
∴或（8分）
又x₂-x₁=2，a＞0∴0＜a≤1（10分）
（3）∵，
∴（12分）
又-2＜x₁＜0
∴x₂=x₁-2
∴在x₁∈（-2，0）上為增函數(shù)．
∴（16分）
點評：本昰考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價轉(zhuǎn)化．