Question

（2013•浙江模擬）在Rt△ABC中，AC=2，BC=2，已知點(diǎn)P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，則

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是

-1

．

Answer 1

分析：由題意知△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，分別以CB、CA所在的直線為x、y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系．算出A、B、C各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)P（x，y）可得

PC

•(

PA

+

PB

)=2（x-

1

2

）²+2（y-

1

2

）²-1，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）時(shí)，

PC

•(

PA

+

PB

)取得最小值．

解答：解：∵Rt△ABC中，AC=2，BC=2，∴△ABC是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形
分別以CB、CA所在的直線為x、y軸，建立如圖所示直角坐標(biāo)系
∵AC=BC=2，∴A（0，2），C（0，0），B（2，0）
設(shè)P（x，y），則

PA

=（-x，2-y），

PB

=（2-x，-y）），

PC

=（-x，-y）
∴

PA

+

PB

=（2-2x，2-2y）
∴

PC

•(

PA

+

PB

)=-x（2-2x）-y（2-2y）=-2x+2x²-2y+2y²=2（x-

1

2

）²+2（y-

1

2

）²-1
∵（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²為點(diǎn)P到點(diǎn)（

1

2

，

1

2

）距離的平方，
∴當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）時(shí)，（x-

1

2

）²+（y-

1

2

）²達(dá)到最小值0，
由此可得當(dāng)點(diǎn)P坐標(biāo)為（

1

2

，

1

2

）時(shí)，數(shù)量積

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值是-1
故答案為：-1

點(diǎn)評(píng)：本題給出等腰直角三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)P，求數(shù)量積

PC

•(

PA

+

PB

)的最小值．著重考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用，屬于中檔題．解題的關(guān)鍵是根據(jù)所求式子運(yùn)用幾何意義使問題得以解決．