Question

已知F₁（﹣2，0），F(xiàn)₂（2，0），點P滿足||PF₁|﹣|PF₂||=2，記點P的軌跡為E．
（1）求軌跡E的方程；
（2）若過點F₂的直線l交軌跡E于P、Q兩不同點．設點M（m，0），問：是否存在實數(shù)m，使得直線 l 繞點F₂ 無論怎樣轉動，都有=0成立？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）∵點P滿足||PF₁|﹣|PF₂||=2，
∴點P的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點的雙曲線．
∵F₂（﹣2，0），F(xiàn)₂（2，0），∴c=2
∵a=1，∴b²=c²﹣a²=3
∴軌跡方程為；
（2）假設存在點M（m，0），使得無論怎樣轉動，都有=0成立
當直線l的斜率存在時，
設直線方程為y=k（x﹣2），P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
與雙曲線方程聯(lián)立消y得（k²﹣3）x²﹣4k²x+4k²+3=0，
∴
解得k²＞3．
∵=（x₁﹣m）（x₂﹣m）+k²（x₁﹣2）（x₂﹣2）
                =（k²+1）x₁x₂﹣（2k²+m）（x₁+x₂）+m²+4k²       
                =
                =．
∵，
∴3（1﹣m²）+k²（m²﹣4m﹣5）=0對任意的k2＞3恒成立，
∴，
解得m=﹣1．
∴當m=﹣1時，．
當直線l的斜率不存在時，由P（2，3），Q（2，﹣3）及M（﹣1，0）知結論也成立，
綜上，當m=﹣1時，．