設(shè)函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a、b、c、d∈R)滿足:對(duì)于任意的x∈R都有f(x)+f(-x)=0,且x=1時(shí)f(x)取極小值-
23

(1)f(x)的解析式;
(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí),證明:函數(shù)圖象上任意兩點(diǎn)處的切線不可能互相垂直:
分析:(1)利用奇函數(shù)中不含偶次項(xiàng),得到b=d=0;求出導(dǎo)函數(shù),令導(dǎo)函數(shù)在x=1的值為0,令函數(shù)在x=1的值為-
2
3
,列出方程組,求出a,c求出解析式.
(2)設(shè)出任意兩個(gè)點(diǎn),求出該兩個(gè)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值,即兩條切線的斜率,求出它們的積的范圍,得到不可能為-1.
解答:解:解:(1)因?yàn)椋?x∈R,f(-x)=-f(x)成立,所以:b=d=0,
由:f'(1)=0,得3a+c=0,由:f(1)=-
2
3
,得 a+c=-
2
3
,解之得:a=
1
3
,c=-1從而,
函數(shù)解析式為:f(x)=
1
3
x3-x

(2)由于,f'(x)=x2-1,
設(shè)任意兩數(shù)x1,x2∈[-1,1]是函數(shù)f(x)圖象上兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),
則這兩點(diǎn)的切線的斜率分別是:k1=f'(x1)=x12-1,k2=f'(x2)=x22-1
又因?yàn)椋?1≤x1≤1,-1≤x2≤1,所以,k1≤0,k2≤0,得:k1k2≥0知:k1k2≠-1
故當(dāng)x∈[-1,1]是函數(shù)f(x)圖象上任意兩點(diǎn)的切線不可能垂直
點(diǎn)評(píng):本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,屬于中檔題.
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xx-1
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12
)的值.

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-1
-1

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精英家教網(wǎng)設(shè)函數(shù)f(x)=(a
x
-
1
x
)n
,其中n=3
π
sin(π+x)dx,a為如圖所示的程序框圖中輸出的結(jié)果,則f(x)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是( 。
A、-
5
2
B、-160
C、160
D、20

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