Question

已知雙曲線

y2

2

-

x2

3

=1的兩個焦點分別為F₁、F₂，則滿足△PF₁F₂的周長為6+2

5

的動點P的軌跡方程為（　�。�

• A．

  x2

  4

  +

  y2

  9

  =1
• B．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1
• C．

  x2

  4

  +

  y2

  9

  =1(x≠0)
• D．

  x2

  9

  +

  y2

  4

  =1(x≠0)

Answer 1

分析：根據(jù)已知雙曲線方程，運用公式可得它的兩個焦點分別為F₁（0，-

5

）、F₂（0，

5

）．再根據(jù)△PF₁F₂的周長為6+2

5

，結(jié)合橢圓的定義得到點P的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，因為三角形三頂點不能共線，所以上、下頂點除外．由橢圓的定義求得橢圓的長半軸、短半軸分別為3和2．因此可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，得到正確選項．

解答：解：∵雙曲線的方程為

y2

2

-

x2

3

=1，
∴a²=2，b²=3，可得c²=a²+b²=5，c=

5

因此雙曲線

y2

2

-

x2

3

=1的兩個焦點分別為F₁（0，-

5

）、F₂（0，

5

），
∵△PF₁F₂的周長為6+2

5

，F(xiàn)₁F₂=2

5

∴PF₁+PF₂=6，點P的軌跡是以F₁、F₂為焦點的橢圓，（上下頂點除外）
由橢圓的定義得，橢圓長軸為6，長半軸為3．
所以該橢圓的短半軸為：

32-5

=2
∴點P的軌跡方程為

x2

4

+

y2

9

=1(x≠0)
故選C

點評：本題以一個軌跡問題為例，著重考查了橢圓、雙曲線等圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡單的軌跡方程求法等知識點，屬于中檔題．