如圖所示，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PA與平面ABCD所成的角為60°，在四邊形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2.

(1)建立適當?shù)淖鴺讼担懗鳇cB，P的坐標；

(2)求異面直線PA與BC所成角的余弦值；

(3)若PB的中點為M，求證：平面AMC⊥平面PBC.

 

【答案】

(1)如圖所示，以D為原點，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D－xyz.

∵∠D＝∠DAB＝90°，AB＝4，CD＝1，AD＝2，

∴A(2,0,0)，C(0,1,0)，B(2,4,0)，

由PD⊥平面ABCD，得∠PAD為PA與平面ABCD所成的角，

∴∠PAD＝60°.

在Rt△PAD中，由AD＝2，得PD＝2，

∴P(0,0,2)．

(2)∵＝(2,0，－2)，

＝(－2，－3,0)，

∴cos<，>＝

＝－，

所以PA與BC所成角的余弦值為

(3)證明：∵M為PB的中點，

∴點M的坐標為(1,2，)，

∴＝(－1,2，)，＝(1,1，)，

＝(2,4，－2)，

∵·＝(－1)×2＋2×4＋×(－2)＝0，

·＝1×2＋1×4＋×(－2)＝0，

∴⊥，⊥，∴PB⊥平面AMC

∵PB⊂平面PBC

∴平面AMC⊥平面PBC .   

【解析】略

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

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精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（Ⅱ）求二面角C-PD-E的大�。�
（Ⅲ）求點B到平面PDE的距離．

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精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是一個矩形，AB=3．AD=1．又PA⊥AB，PA=4，
∠PAD=60°．求：
（1）四棱錐P-ABCD的體積．
（2）二面角P-BC-D的正切值．

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精英家教網(wǎng)如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°，∠BDC=45°，△ADP～△BAD．
（1）求線段PD的長；
（2）若PC=
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R，求三棱錐P-ABC的體積．

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（2012•煙臺一模）如圖所示，四棱錐P-ABCD中，ABCD為正方形，PA⊥AD，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點．
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（1）BC∥平面EFG；
（2）平面EFG⊥平面PAB．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，四棱錐P-ABCD底面是直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD=2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點，PA=AD=AB=1．
（1）證明：EB∥平面PAD；
（2）證明：BE⊥平面PDC；
（3）求三棱錐B-PDC的體積V．

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