Question

已知數(shù)列{a_n}中a₁=，an=2-（n≥2，n∈N^*），數(shù)列 {b_n}，滿足b_n=（n∈N^*），
（1）求證數(shù)列 {b_n}是等差數(shù)列；
（2）若s_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）是否存在a與b∈Z，使得：a≤s_n≤b恒成立．若有，求出a的最大值與b的最小值，如果沒有，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意知b_n=，∴b_n-b_n-1=-=1（n∈N*），
∴數(shù)列{b_n]是首項為b₁==-，公差為1的等差數(shù)列．
（2）依題意有．a(chǎn)_n-1=
S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1）=，
設(shè)函數(shù) ，則函數(shù)在（ ，+∞）上為減函數(shù)．
S_n在[3+∞）上是遞增，且S_n＜，故當(dāng)n=3時，且S_n=，取最小值-．
而函數(shù) 在（-∞，）上也為減函數(shù)，S_n在（1，2]上是遞增，且S_n＞，
故當(dāng)n=2時，S_n取最大值：S₂=．S_n的最大值為 ．
a的最大值與b的最小值分別為-3，2
分析：（1）由已知中b_n=，a_n=2-，我們易得到b_n-b_n-1=1，再由a₁=，求出數(shù)列{b_n]是首項b₁，后即可得到數(shù)列{b_n]是等差數(shù)列；
（2）由（1）中的結(jié)論，我們可得a_n-1=，由此可將S_n=（a₁-1）•（a₂-1）+（a₂-1）•（a₃-1）+…+（a_n-1）•（a_n+1-1），進(jìn)行化簡，構(gòu)造設(shè)函數(shù) ，討論函數(shù)的單調(diào)性后，易得到當(dāng)n=2時，S_n取最大值，即可得到結(jié)果．
點評：本題考查的知識點是等差關(guān)系的確定及數(shù)列的函數(shù)特征，在求數(shù)列的最大項及數(shù)列前n項和的最大值時，我們常借助函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，但要注意數(shù)列是自變量為正整數(shù)的特殊函數(shù)，故滿足條件的n值，均應(yīng)為正整數(shù)．