Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

x2-2x，g（x）=log_ax．如果函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）沒有極值點(diǎn)，且h′（x）存在零點(diǎn)．
（1）求a的值；
（2）判斷方程f（x）+2=g（x）根的個(gè)數(shù)并說明理由；
（3）設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＜x₂）是函數(shù)y=g（x）圖象上的兩點(diǎn)，平行于AB的切線以P（x₀，y₀）為切點(diǎn)，求證：x₁＜x₀＜x₂．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)閔′（x）存在零點(diǎn)，所以h′（x）=0有解，又因?yàn)閔（x）沒有極值點(diǎn)，所以在h′（x）=0的解的兩側(cè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相同，所以對(duì)于方程h′（x）=0，滿足△=0，就可求出a的值．
（2）方程f（x）+2=g（x）可變形為

1

2

x2-2x+2=lnx，把方程的左右兩邊都看做是函數(shù)解析式，則只需在同一坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，圖象有幾個(gè)交點(diǎn)，則方程f（x）+2=g（x）有幾個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（3）因?yàn)橐訮（x₀，y₀）為切點(diǎn)的切線平行于直線AB，所以切線斜率等于直線AB的斜率，即

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，就可把
x₀用A，B點(diǎn)的橫坐標(biāo)x₁，x₂表示，令t=

x2

x1

，則x0-x 1=

x1(t-1-lnt)

lnt

，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=t-1-lnt
的單調(diào)性，就可得到x₁＜x₀＜x₂．

解答：解：（1）依題意h(x)=

1

2

x2-2x+logax，
h，(x)=x-2+

1

xlna

=

x2lna-2xlna+1

xlna

∵h(yuǎn)（x）無極值，h′（x）存在零點(diǎn)
∴x²lna-2xlna+1=0的△=0，
即4（lna）²-4lna=0，解得a=e或1，
∵g（x）=log_ax，
∴a≠1，
∴所求的a的值為e．
（2）方程f（x）+2=g（x）可變形為

1

2

x2-2x+2=lnx
在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y=

1

2

x2-2x+2和函數(shù)y=lnx的圖象，如右圖，觀察圖象，有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴方程f（x）+2=g（x）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
（3）由已知

1

x0

=

y1-y2

x1-x2

，
所以x0=

x1-x2

y1-y2

x0-x1=

x1-x2

y1-y2

-x1=

x2-x1-x1(y2-y1)

y2-y1

=

x2-x1-x1ln x2 x1

ln x2 x1

設(shè)t=

x2

x1

得：x0-x 1=

x1(t-1-lnt)

lnt

（t＞1）．構(gòu)造函數(shù)y=t-1-lnt
當(dāng)t≥1時(shí)，y/=1-

1

t

=

t-1

t

≥0，所以函數(shù)y=t-1-lnt在當(dāng)t≥1時(shí)是增函數(shù)
所以t＞1時(shí)，t-1-lnt＞0，所以x₀-x₁＞0得x₀＞x₁成
同理可得x₀＜x₂成立，所以x₁＜x₀＜x₂

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及圖象法判斷方程解的個(gè)數(shù)，以及借助導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，屬于綜合題．