Question

如圖，圓O與x軸的正半軸的交點(diǎn)為A，點(diǎn)C、B在圓O上，且點(diǎn)C位于第一象限，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(

4

5

，-

3

5

)，∠AOC=α．
（Ⅰ）求圓O的半徑及C點(diǎn)的坐標(biāo)；
（Ⅱ）若|BC|=1，求

3

cos2

α

2

-sin

α

2

cos

α

2

-

3

2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用兩點(diǎn)間的距離公式求出半徑，再寫出C的坐標(biāo)．
（Ⅱ）依題意△BOC是正三角形，化簡(jiǎn)表達(dá)式，結(jié)合∠BOC即可求解．

解答：解：（Ⅰ）半徑r=|OB|=

( 4 5 )2+(- 3 5 )2

=1，（2分）
點(diǎn)C的坐標(biāo)為（cosα，sinα）；（5分）
（Ⅱ）由（1）可知|OB|=|OC|=|BC|=1，∴∠BOC=

π

3

（6分）

3

cos2

α

2

-sin

α

2

cos

α

2

-

3

2

=

3

(

cosα+1

2

)-

1

2

sinα-

3

2

=

3

2

cosα-

1

2

sinα=sin(

π

3

-α)=sin∠BOA=

3

5

（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正弦、余弦，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，是中檔題．