Question

已知x、y滿足條件

x+2y-9≤0 x-4y+3≤0 x≥1

，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+y（a∈R）取得最大值時的最優(yōu)解有無數(shù)個，則z=ax+y的最小值為（　�。�

• A、

  1

  2

• B、

  3

  2

• C、

  3

  4

• D、

  5

  4

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，得到目標(biāo)函數(shù)的對應(yīng)的直線和不等式對應(yīng)的邊界的直線的斜率相同，解方程即可得到結(jié)論．

解答： 解：不等式對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
由z=ax+y得y=-ax+z，
若a=0時，直線y=-ax+z=z，此時取得最大值的最優(yōu)解只有一個，不滿足條件．
若-a＞0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時直線只在A處取得最大值，最優(yōu)解只有一個，不滿足條件，
若-a＜0，則直線y=-ax+z截距取得最大值時，z取的最大值，此時滿足直線y=-ax+z與AB平行，
直線AB為y=-

1

2

x+

9

2

，直線的斜率k=-

1

2

，
此時-a=-

1

2

，解得a=

1

2

．
綜上滿足條件的a=-

1

2

，即目標(biāo)函數(shù)為y=-

1

2

x+z，
當(dāng)直線y=-

1

2

x+z經(jīng)過點C時，直線的截距最小，此時z有最小值，
由

x=1 x-4y+3=0

，解得

x=1 y=1

，即A（1，1），
此時z=

1

2

+1=

3

2

，
故選：B．

點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，結(jié)合z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解有無窮多個，利用結(jié)合數(shù)形結(jié)合先求出a是解決本題的根據(jù)．