Question

下表中數(shù)陣為“森德拉姆素數(shù)篩”，其特點是每行每列都成等差數(shù)列，記第i行第j列的數(shù)為

2	3	4	5	6	7	…
3	5	7	9	11	13	…
4	7	10	13	16	19	…
5	9	13	17	21	25	…
6	11	16	21	26	31	…
7	13	19	25	31	37	…
…	…	…	…	…	…	…

a_ij（ij∈N⁺），則：
（Ⅰ）a₉₉=

82

；
（Ⅱ）表中數(shù)82共出現(xiàn)

5

次．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)表中的規(guī)律可得第i行等差數(shù)列的公差為i，由此算出第一行數(shù)組成的數(shù)列通項為a_1j=j+1，再根據(jù)第j列等差數(shù)列的公差等于j，算出a_ij=ij+1．由此代入數(shù)據(jù)即可算出a₉₉的值；
（II）由（I）中求出的通項公式a_ij=ij+1，可得a_ij=82即ij=81，算出i、j的情況有5種，由此可得表中數(shù)82共出現(xiàn)5次．

解答：解：根據(jù)題意，第i行的等差數(shù)列的公差為i，第j列的等差數(shù)列的公差等于j，（i、j∈N⁺），
∴第一行數(shù)組成的數(shù)列a_1j（j=1，2，…）是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列，
可得a_1j=2+（j-1）×1=j+1，
又∵第j列數(shù)組成的數(shù)列A_1j（i=1，2，…）是以a_1j為首項，公差為j的等差數(shù)列，
∴a_ij=a_1j+（i-1）×j=（j+1）+（i-1）×j=ij+1．
（I）∵a_ij=ij+1，∴a₉₉=9×9+1=82；
（II）由a_ij=ij+1=82，得ij=81，
∴i=81且j=1、i=1且j=81、i=3且j=27、i=27且j=3或i=j=9，可得等于82的項共有5項．
因此表中82總共出現(xiàn)5次．
故答案為：82，5

點評：本題給出“森德拉姆素數(shù)篩”的例子，求表格中的指定項，并求82在表中出現(xiàn)了幾次．著重考查了等差數(shù)列的通項公式及其應(yīng)用的知識，屬于中檔題．