函數(shù)是常數(shù)），曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1．
（1）求m，n．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）設(shè)F（x）=ex•f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明x＞0時，恒成立．
【答案】分析：（1）由是常數(shù)），知，x∈（0，+∞），再由曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1，能求出m，n．
（2）由，x∈（0，+∞），設(shè)k（x）=，則，由此能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）由F（x）=ex•f′（x），知F（x）=，x∈（0，+∞）設(shè)h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），則h′（x）=-（lnx+2），由此能夠證明x＞0時，恒成立．
解答：解：（1）∵是常數(shù)），
∴，x∈（0，+∞）
∵曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1，
∴，
解得m=1，n=1-．
（2）由（1）知，，x∈（0，+∞），
設(shè)k（x）=，
則，
即k（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
由k（1）=0知，當(dāng)0＜x＜1時，k（x）＞0，從而f′（x）＞0．
當(dāng)x＞1時，k（x）＜0，從而f′（x）＜0．
綜上所述，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞減區(qū)間是（1，+∞）．
（3）∵F（x）=ex•f′（x），
∴F（x）=，x∈（0，+∞）
設(shè)h（x）=1-xlnx-x，x∈（0，+∞），則h′（x）=-（lnx+2），
∴當(dāng)x∈（0，+∞）時，h（x）≤h（e-2）=1+e-2，
又當(dāng)x∈（0，+∞）時，0＜＜e，
∴x∈（0，+∞）時，，
故x＞0時，恒成立．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查不等式的證明．解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

函數(shù)f(x)=
1nx+m
ex
+n(m，n是常數(shù)），曲線y=f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y=1．
（1）求m，n．
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）設(shè)F（x）=ex•f′（x），其中f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．證明x＞0時，F(x)＜e+
1
e
恒成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=ex（x2+ax-a），其中a是常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若存在實(shí)數(shù)k，使得關(guān)于x的方程f（x）=k在[0，+∞）上有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，求k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•三明模擬）已知函數(shù)f（x）=x（x-a）2，a是大于零的常數(shù)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，2]上為單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上存在一點(diǎn)P，使得曲線y=f（x）上總有兩點(diǎn)M，N，且
MP
=
PN
成立．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•湖北模擬）已知a為常數(shù)，a∈R，函數(shù)f（x）=x2+ax-lnx，g（x）=ex．（其中e是自然對數(shù)的底數(shù)）
（Ⅰ）過坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線y=f（x）的切線，設(shè)切點(diǎn)為P（x0，y0），求證：x0=1；
（Ⅱ）令F(x)=
f(x)g(x)
，若函數(shù)F（x）在區(qū)間（0，1]上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．

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