Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₂=2，前n項(xiàng)和為．
（I）證明數(shù)列{a_n+1-a_n}是等差數(shù)列，并求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）設(shè)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意，當(dāng)．a(chǎn)₂=2，則a₂-a₁=1．當(dāng)，由此入手能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列，從而能夠求出a_n．
（II），所以，=．由此能夠求出使不等式對一切n∈N^*都成立的最大正整數(shù)k的值．
解答：解：（I）由題意，當(dāng)．
a₂=2，則a₂-a₁=1．
當(dāng)，，
則，
則（n-1）a_n+1-2（n-1）a_n+（n-1）a_n-1=0，
即a_n+1-2a_n+a_n-1=0，
即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1．
則數(shù)列{a_n+1-a_n}是首項(xiàng)為1，公差為0的等差數(shù)列．…（6分）
從而a_n-a_n-1=1，則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
所以，a_n=n（n∈N^*）…（8分）
（II）…（10分）
所以，
=．…（12分）
由于．
因此T_n單調(diào)遞增，
故T_n的最小值為…（14分）
令，
所以k的最大值為18．…（16分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．