Question

選修4-5：不等式選講
已知函數(shù)f（x）=|x-2a|，不等式f（x）≤4的解集為{x|-2≤x≤6}．
（1）求實(shí)數(shù)a的值；
（2）若存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）依題意，|x-2a|≤4的解集為{x|-2≤x≤6}，可解得a；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+f（x+2），可求得g（x）=|x-2|+|x|=

2-2xx＜0 20≤x≤2 2x-2x＞2

，求得g（x）的取值范圍即可．

解答：解：（1）由f（x）≤4得|x-2a|≤4，解得2a-4≤x≤2a+4，
又已知不等式f（x）≤4的解集為{x|-2≤x≤6}，
所以

2a-4=-2 2a+4=6

解得a=1…（4分）
（2）由（Ⅰ）可知，f（x）=|x-2|，
設(shè)g（x）=f（x）+f（x+2），
即g（x）=|x-2|+|x|=

2-2x，x＜0 2，0≤x≤2 2x-2，x＞2

，…（6分）
當(dāng)x＜0時(shí)，g（x）＞2；
當(dāng)0≤x≤2時(shí)，g（x）=2；
當(dāng)x＞2時(shí)，g（x）＞2
綜上，g（x）≥2…（8分）
故m＞2…（10分）

點(diǎn)評：本題考查絕對值不等式的解法，理解“存在x∈R，使不等式f（x）+f（x+2）＜m成立”中的“存在”的含義是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，是易錯(cuò)點(diǎn)，需求得g（x）_min，而非g（x）_max，屬于難題．