已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，過右焦點F且傾斜角為
π
3
的直線與C相交于A、B兩點，且3
AF
=5
FB
．
（1）求橢圓的離心率；
（2）若△ABF1的面積小于等于
8
3
5
（F1為左焦點），求弦AB長度的取值范圍．
分析：（1）分別過A，B作準線的垂線，垂足為A1，B1由直線AB的傾斜角為
π
3
可得，2（AA1-BB1）=AB=AF+BF=e（AA1+BB1），再由3
AF
=5
FB
 可得3AA1=5BB1，從而結合定義可求離心率e
（2）由
x2
c2
+
y2
3 c2
=1及y= 
3
(x-c)可得15x2-24cx=0，而S△ABF1=
1
2
FF1•|yB-yA|=
1
2
×2c×
8
3
c
5
≤
8
3
5
可得c≤1，結合AB=
(xA-xB)2
+
(yA-yB)2
可求
解答：解：分別過A，B作準線的垂線，垂足為A1，B1
因為直線AB的傾斜角為
π
3

所以2（AA1-BB1）=AB=AF+BF=e（AA1+BB1）
由3
AF
=5
FB
 可得3AA1=5BB1
所以e=
1
2

（2）由
x2
c2
+
y2
3 c2
=1及y= 
3
(x-c)可得15x2-24cx=0
所以，xA=0，xB=
8c
5

因為S△ABF1=
1
2
FF1•|yB-yA|=
1
2
×2c×
8
3
c
5
≤
8
3
5
可得c≤1
又因為AB=
(xA-xB)2
+
(yA-yB)2
，所以AB≤
16
5
點評：求圓錐曲線的方程一般利用待定系數(shù)法；解決直線與圓錐曲線的位置關系一般講直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)得到關于另一個未知數(shù)的二次方程，利用韋達定理得到交點的坐標的關系，作為突破口來找思路．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點F與拋物線y2=4x的焦點重合，O為坐標原點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設A、B是橢圓C上的不同兩點，點D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標原點O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設過點P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點，且M，N不與橢圓的頂點重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設過右焦點的直線l與橢圓C交于不同的兩點A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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