Question

已知數(shù)列{a_n}的前三項(xiàng)分別為a₁=5，a₂=6，a₃=8，且數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2，其中m，n為任意正整數(shù)．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和S_n；
（2）求滿足Sn2-

3

2

an+33=k2的所有正整數(shù)k，n．

Answer 1

（1）在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
分別令m=1，m=2，得
Sn+1=

1

2

(S2n+S2)-(n-1)2，①
Sn+2=

1

2

(S2n+S4)-(n-2)2，②
②-①，得an+2=2n-3+

S4-S2

2

，
在等式Sn+m=

1

2

(S2n+S2m)-(n-m)2中，
令n=1，m=2，得
S3=

1

2

(S2+S4)-1，
由題設(shè)知，S₂=11，S₃=19，
故S₄=29，
所以a_n+2=2n+6，（n∈N^*），
即a_n=2n+2，（n≥3，n∈N^*），
又a₂=6也適合上式，
故an=

5，n=1 2n+2，n≥2

，即Sn=n2+3n+1，n∈N*．
（2）記Sn2-

3

2

an+33=k2，（*）
n=1時，無正整數(shù)k滿足等式（*）
n≥2時，等式（*）即為（n²+3n+1）²-3（n-10）=k²，
①當(dāng)n=10時，k=131．
②當(dāng)n＞10時，則k＜n²+3n+1，
∵k²-（n²+3n）²=2n²+3n+31＞0，
∴k＞n²+3n，
從而n²+3n＜k＜n²+3n+1，
∵n，k∈N^*，∴k不存在，從而無正整數(shù)k滿足等式（*）．
③當(dāng)n＜10時，則k＞n²+3n+1，
∵k∈N^*，∴k≥n²+3n+2，
從而（n²+3n+1）²-3（n-10）≥（n²+3n+2）²．
即2n²+9n-27≤0，
∵n∈N^*，∴n=1或2．
n=1時，k²=52，無正整數(shù)解；
n=2時，k²=145，無正整數(shù)解．
綜上所述，滿足等式（*）的n，k分別為n=10，k=131．