Question

如圖，平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長都等于1，且它們彼此的夾角都是60°，則A₁到平面ABCD的距離為（　�。�

• A．

  1

  2

• B．

  5

  3

• C．

  6

  3

• D．

  6

  4

Answer 1

分析：記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，結(jié)合題意可得O在∠BAD的平分線上，而∠BAD的平分線即菱形ABCD的對(duì)角線AC，在直角三角形AA₁O中利用三角函數(shù)的定義加以計(jì)算，求出A₁O即得A₁到平面ABCD的距離．

解答：解：記A₁在面ABCD內(nèi)的射影為O，
∵∠A₁AB=∠A₁AD，∴O在∠BAD的平分線上，
又∵AB=AD，∴∠BAD的平分線即菱形ABCD的對(duì)角線AC，故O在AC上
∵cos∠A₁AB=cos∠A₁AO×cos∠OAB，∠A₁AB=60°，∠OAB=30°
∴cos60°=cos∠A₁AO•cos30°，可得cos∠A₁AO=

3

3

因此，sin∠A₁AO=

1-cos2∠A1AO

=

6

3

，
∵在Rt△A₁AO中，AA₁=1，∴A₁O=AA₁sin∠A₁AO=

6

3

，
即A₁到平面ABCD的距離為

6

3

故選：C

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)在直角三角形中的定義、空間點(diǎn)到平面的距離定義及求法和菱形的性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．