Question

如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁各棱長都為a，P為線段A₁B上的動點．
（Ⅰ）試確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）若A₁P：PB=2：3，求二面角P-AC-B的大�。�

Answer 1

解：【法一】（Ⅰ）當(dāng)PC⊥AB時，作P在AB上的射影D，連接CD，則AB⊥平面PCD，∴AB⊥CD，∴D是AB的中點，
又PD∥AA₁，∴P也是A₁B的中點，即A₁P：PB=1．
反之當(dāng)A₁P：PB=1時，取AB的中點D'，連接CD'、PD'．
∵△ABC為正三角形，∴CD'⊥AB．
由于P為A₁B的中點時，PD'∥A₁A
∵A₁A⊥平面ABC，∴PD'⊥平面ABC，∴PC⊥AB．…6′
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時，作P在AB上的射影D，則PD⊥底面ABC．
作D在AC上的射影E，連接PE，則PE⊥AC，∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角．
又∵PD∥AA₁，∴，∴．
∴，
又∵，∴，∴，∴P-AC-B的大小為∠PED=60°．…12
【法二】以A為原點，AB為x軸，過A點與AB垂直的直線為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，如圖所示，設(shè)P（x，0，z），則B（a，0，0）、A₁（0，0，a）、．
（Ⅰ）由得，即，
∴，即P為A₁B的中點，也即A₁P：PB=1時，PC⊥AB．…4′
（Ⅱ）當(dāng)A₁P：PB=2：3時，P點的坐標(biāo)是．
取．則，．
∴是平面PAC的一個法向量．
又平面ABC的一個法向量為．
∴，∴二面角P-AC-B的大小是60°．…（12分）
分析：【法一】（Ⅰ）利用三角形的中位線，可確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）先作出二面角P-AC-B的平面角，再進行計算；
【法二】建立空間直角坐標(biāo)系，（Ⅰ）由，可確定A₁P：PB的值，使得PC⊥AB；
（Ⅱ）確定平面的法向量，利用向量的夾角公式，即可求得結(jié)論．
點評：本題考查線線垂直，考查面面角，考查利用向量知識解決立體幾何問題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．