Question

已知函數(shù)f（x）=x²-lnx+a，曲線f（x）在點(diǎn)（1，f（10））處的切線為l，
（1）若a=-1，求切線l的方程；
（2）若切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專(zhuān)題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，得到f′（1）的值，再求出f（1）的值，然后利用直線方程的點(diǎn)斜式得答案；
（2）求出切線l的方程為y-（1+a）=x-1，即y=x+a，可得切線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-a，0），（0，a），利用切線l與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2，求a的值．

解答： 解：（1）∵a=-1，∴f（x）=x²-lnx-1
∴切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）------------2分
∵f′（x）=2x-

1

x

，∴切線l的斜率k=f′（1）=1------4分
∴切線l的方程為y-1=x，即x-y+1=0------------6分
（2）∵f（1）=1+a
∴切線l的方程為y-（1+a）=x-1，即y=x+a------------8分
∴切線l與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為（-a，0），（0，a）-----------10分
∴由

1

2

|a|2=2可得a=±2．------------12分

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)處的切線方程，過(guò)曲線上某點(diǎn)處的切線的斜率，就是函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值，是中檔題．