Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)相等，點(diǎn)D是棱CC₁的中點(diǎn)，則AA₁與面ABD所成角的大小是

60°

．

Answer 1

分析：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)相等，點(diǎn)D是棱CC₁的中點(diǎn)，設(shè)棱長(zhǎng)為2，以ABC平面內(nèi)AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AA₁與面ABD所成角的大�。�

解答：解：正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各棱長(zhǎng)相等，點(diǎn)D是棱CC₁的中點(diǎn)，
設(shè)棱長(zhǎng)為2，以ABC平面內(nèi)AC順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的直線為x軸，以AC為y軸，以AA₁為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A（0，0，0），B（2sin30°，2sin60°，0）=（

3

，1，0），D（0，2，1），A₁（0，0，2），
∴

AA1

=（0，0，2），

AD

=（0，2，1），

AB

=（

3

，1，0），
設(shè)平面ABD的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n

•

AD

=0，

n

•

AB

=0，
∴

2y+z=0 3 x+y=0

，解得

n

=（

3

，-3，6），
設(shè)AA₁與面ABD所成角為θ，
則sinθ=|cos＜

AA1

，

n

＞|=|

12

2× 3+9+36

|=

3

2

．
∴θ=60°．
故AA₁與面ABD所成角的大小是60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量法的合理運(yùn)用．