Question

（2012•臺(tái)州一模）若不等式x²+2xy≤a（6x²+y²）對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：不等式x²+2xy≤a（6x²+y²），可化為a≥

x2+2xy

6x2+y2

=

1+2• y x

6+( y x )2

對(duì)于一切正數(shù)x，y恒成立，換元，求出函數(shù)的最值，即可求得結(jié)論．

解答：解：不等式x²+2xy≤a（6x²+y²），可化為a≥

x2+2xy

6x2+y2

=

1+2• y x

6+( y x )2

令t=

y

x

，則t＞0，a≥

1+2t

6+t2

令f（t）=

1+2t

6+t2

，則f′（t）=

-2(t+3)(t-2)

(6+t2)2

∴t∈（0，2）時(shí)，f′（t）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，t∈（2，+∞）時(shí)，f′（t）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減
∴t=2時(shí)，函數(shù)取得最大值

1

2

∴a≥

1

2

∴實(shí)數(shù)a的最小值為

1

2

故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．