Question

某化工廠打算投入一條新的生產(chǎn)線，但需要經(jīng)環(huán)保部門審批同意方可投入生產(chǎn)，已知該廠連續(xù)生產(chǎn)n個(gè)月的累計(jì)產(chǎn)量為f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)噸，但如果產(chǎn)量超過96噸，將會(huì)給環(huán)境造成危害．
（1）請(qǐng)你代表環(huán)保部門給廠擬定最長的生產(chǎn)周期；
（2）若該廠在環(huán)保部門的規(guī)定下生產(chǎn)，但需要每月交納a萬元的環(huán)保稅，已知每噸產(chǎn)品售價(jià)0.6萬元，第n個(gè)月的工人工資為g(n)=

8

5

n2-

2

5

n-1萬元，若每月都贏利，求出a的范圍．

Answer 1

分析：（1）先化簡得到第n個(gè)月的產(chǎn)量函數(shù)，再令f(n)-f(n-1)≤96，解得：-

16

3

≤n≤6；
（2）建立利潤函數(shù)F(n)=

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)，n∈N，n≤6，則F（n）＞0恒成立，求得a的范圍．

解答：解：（1）第n個(gè)月的月產(chǎn)量=

f(1)，n=1 f(n)-f(n-1)，n∈N，n≥2

．（3分）
∵f(n)=

1

2

n(n+1)(2n-1)，∴f(1)=1，當(dāng)n≥2時(shí)，f(n-1)=

1

2

(n-1)n(2n-3)，
∴f（n）-f（n-1）=3n²-2n．（6分）
令f(n)-f(n-1)≤96，即3n2-2n-96≤0，解得：-

16

3

≤n≤6，
∵n∈N，∴n_max=6．（9分）
（2）若每月都贏利，
則

3

5

(3n2-2n)-a-g(n)＞0，n∈N，n≤6恒成立．
即a＜

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，恒成立，（12分）
令h(n)=

1

5

(n-2)2+

1

5

，n=1，2，3，4，5，6，∴n=2時(shí)h(n)最小，且h(2)=

1

5

（14分）
所以0＜a＜

1

5

．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，建模和解模的能力．