Question

設(shè)F為橢圓

x2

25

+

y2

16

=1的左焦點(diǎn)，A、B、C為該橢圓上三點(diǎn)，若

FA

+

FB

+

FC

=

0

，則|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|的值為（　　）

• A．

  24

  5

• B．

  48

  5

• C．

  38

  5

• D．

  58

  5

Answer 1

分析：算出橢圓的左焦點(diǎn)為F（-3，0），設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）．根據(jù)

FA

+

FB

+

FC

=

0

，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算得到x₁+x₂+x₃=-9．由橢圓的第二定義算出|

FA

|=5+

3

5

x₁、|

FB

|=5+

3

5

x₂且

FC

=5+

3

5

x₃，相加并代入前面證出的等式，即可算出|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|的值．

解答：解：∵橢圓

x2

25

+

y2

16

=1中，a=5，b=4，
∴c=

a2-b2

=3，得橢圓的左焦點(diǎn)為F（-3，0）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
可得

FA

=（x₁+3，y₁），

FB

=（x₂+3，y₂），

FC

=（x₃+3，y₃），
∵

FA

+

FB

+

FC

=

0

∴（x₁+3）+（x₂+3）+（x₃+3）=0，可得x₁+x₂+x₃=-9．
橢圓的離心率e=

c

a

=

3

5

，由橢圓的第二定義，
得：|

FA

|=a+ex₁=5+

3

5

x₁，同理得到|

FB

|=5+

3

5

x₂，

FC

=5+

3

5

x₃，
∴|

FA

|+|

FB

|+|

FC

|=15+

3

5

（x₁+x₂+x₃）=15+

3

5

×（-9）=

48

5

．
故選：B

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上三個(gè)點(diǎn)A、B、C，在三角形ABC的重心位于左焦點(diǎn)時(shí)，求三點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離之積．著重考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算、橢圓的定義與簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．