Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，且f（1）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（-1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的特性，可得f（0）=0，結(jié)合f（1）=1，構(gòu)造方程組，解得函數(shù)f（x）的解析式；
（2）利用導數(shù)法，可證得f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在（-1，1）上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0，
又∵f（1）=1．
∴$\left\{\begin{array}{l}b=0\\ \frac{a+b}{2}=1\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=0\end{array}\right.$，
∴函數(shù)f（x）=$\frac{2x}{{x}^{2}+1}$，
（2）f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增，理由如下：
∵f′（x）=$\frac{-2{x}^{2}+2}{{（x}^{2}+1）^{2}}$，
當x∈（-1，1）時，f′（x）≥0恒成立，
故f（x）在（-1，1）上單調(diào)遞增．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)單調(diào)性的證明與應用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，難度中檔．