Question

已知數(shù)列{a_n}滿足對任意的n∈N^*，成立，解決下列問題．
（Ⅰ）若a₃是2a₁、a₄的等比中項(xiàng)，求a₁的值；
（Ⅱ）求證：數(shù)列{}為等差數(shù)列；
（Ⅲ）若a₁=2，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為S_n，求證．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直接把n=3，2，1代入，再借助于a₃是2a₁、a₄的等比中項(xiàng)，即可求出a₁的值；
（Ⅱ）先假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù)λ符合題意，得到   必為與n無關(guān)的常數(shù)，整理   即可求出實(shí)數(shù)λ，進(jìn)而求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）通過（Ⅱ），求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，求出數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用放縮法擴(kuò)大數(shù)列的和，通過無窮數(shù)列的求和，證明結(jié)果．
解答：解：（Ⅰ）由，a₃是2a₁、a₄的等比中項(xiàng)，a₃²=2a₁•a₄，
，所以同理可得，
所以，解得a₁=-16．
（Ⅱ）由，可知，所以，
所以數(shù)列{}是以為首項(xiàng)以2為公差的等差數(shù)列．
（Ⅲ）若a₁=2，數(shù)列{}的首項(xiàng)為1，公差為2，所以，
所以，
前n項(xiàng)和為S_n=1×2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ，①
則2S_n=1×2²+3×2³+…+（2n-3）×2ⁿ+（2n-1）×2ⁿ⁺¹，②
①-②得：-S_n=2+2（2²+…+2ⁿ）-（2n-1）×2ⁿ⁺¹=2+-（2n-1）×2ⁿ⁺¹．
S_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．
=，
=
=++…
＜=1＜．
點(diǎn)評：本題主要考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用以及等差關(guān)系的確定．?dāng)?shù)列求和的方法，錯(cuò)位相減法以及放縮法的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力．