Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，PA=1，PA⊥平面ABCD，點E是PC的中點，F(xiàn)是AB的中點．
（1）求證：BE∥平面PDF；
（2）求直線BE與平面PAD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線定理、平行四邊形的判定與性質(zhì)定理及線面平行的判定定理即可證明；
（2）由BE∥MF，可得∠FMH是直線MF與平面PAD所成的線面角，解三角形FMH，可得答案．

解答：證明：（1）取PD的中點為M，連接ME，MF，
∵E是PC的中點，
∴ME是△PCD的中位線．
∴ME∥CD，ME=

1

2

CD．
又∵F是AB的中點，且由于ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴ME∥FB，且ME=FB．
∴四邊形MEBF是平行四邊形，
∴BE∥MF．
∵BE?平面PDF，MF?平面PDF，
∴BE∥平面PDF．
解：（2）由（1）得BE∥MF，
∴直線BE與平面PAD所成角就是直線MF與平面PAD所成角．
過F做FH⊥AD，垂足為H，連MH
∵PA⊥平面ABCD
∴面PAD⊥平面ABCD
又∵面PAD∩平面ABCD=AD，F(xiàn)H⊥AD
∴FH⊥面PAD
∴∠FMH是直線MF與平面PAD所成的線面角
又底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=2，F(xiàn)是AB的中點
∴DF=

3

，F(xiàn)H=

3

2

又∵PH=

2

，PD=

5

∴PH⊥DF
∴MH=

5

2

，sin∠FMH=

FH

FM

=

15

5

．
∴直線BE與平面PAD所成的線面角的正弦值為

15

5

．

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定，熟練掌握線面、面面垂直與平行的判定定理和性質(zhì)定理及利用等積變形計算三棱錐的體積的方法是解題的關(guān)鍵．