Question

17、7名師生站成一排照相留念，其中老師1人，男生4人，女生2人，在下列情況下，各有不同站法多少種？
（1）兩個女生必須相鄰而站；
（2）4名男生互不相鄰；
（3）老師不站中間，女生甲不站左端．

Answer 1

分析：（1）兩個女生必須相鄰而站；把兩個女生看做一個元素，則共有6個元素進(jìn)行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列．
（2）4名男生互不相鄰，應(yīng)用插空法，要老師和女生先排列，形成四個空再排男生．
（3）當(dāng)老師站左端時其余六個位置可以進(jìn)行全排列，當(dāng)老師不站左端時，老師有5種站法，甲有五種結(jié)果，余下的5個人在五個位置進(jìn)行排列．根據(jù)分類計數(shù)原理得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵兩個女生必須相鄰而站；
∴把兩個女生看做一個元素，
則共有6個元素進(jìn)行全排列，還有女生內(nèi)部的一個排列共有A₆⁶A₂²=1440．
（2）∵4名男生互不相鄰；
∴應(yīng)用插空法，
要老師和女生先排列，形成四個空再排男生共有A₃³A₄⁴=144．
（3）當(dāng)老師站左端時其余六個位置可以進(jìn)行全排列共有A₆⁶=720種結(jié)果，
當(dāng)老師不站左端時，老師有5種站法，甲有五種結(jié)果，余下的5個人在五個位置進(jìn)行排列共有A₅⁵×5×5=3000
根據(jù)分類計數(shù)原理知共有720+3000=3720．

點評：站隊問題是排列組合中的典型問題，解題時，要先排限制條件多的元素，把排列問題包含在實際問題中，解題的關(guān)鍵是看清題目的實質(zhì)，把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，解出結(jié)果以后再還原為實際問題．