Question

函數(shù)f（x）=mx²-2x+1有且僅有一個為正實數(shù)的零點，則實數(shù)m的取值范圍是（　�。�

A．（-∞，1]

B．（-∞，0]∪{1}

C．（-∞，0）∪（0，1]

D．（-∞，1）

Answer 1

分析：當(dāng)m=0時，滿足條件．當(dāng)m≠0時，函數(shù)f（x）=mx²-2x+1圖象是拋物線，且與y軸的交點為（0，1），則得 ①對稱軸x=

1

m

＞0，且判別式△=4-4m=0；或者②對稱軸x=

1

m

＜0．分別求得m的范圍，再取并集，即可得實數(shù)m的取值范圍．

解答：解：當(dāng)m=0時，令f（x）=-2x+1=0，求得x=

1

2

，滿足條件．
當(dāng)m≠0時，函數(shù)f（x）=mx²-2x+1圖象是拋物線，且與y軸的交點為（0，1），由f（x）有且僅有一個正實數(shù)的零點，
則得 ①對稱軸x=

1

m

＞0，且判別式△=4-4m=0，求得m=1．
或者②對稱軸x=

1

m

＜0，解得 m＜0．
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍{m|m=1，或m＜0}．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點的定義，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．