Question

已知數(shù)列{a_n} 滿足a₁=a，且a _n+1=

1- 1 an (an＞1) 2an(an≤1)

，對任意的n∈N^*，總有a _n+3=a_n成立，則a在（0，1]內(nèi)的可能值有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：a₁=a∈（0，1]，a₂=2a，若a∈(0，

1

2

]，a₂=2a∈（0，1]，a₃=4a，a4=

8a，0＜a≤ 1 4 1- 1 4a ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．由此能求出a=

1

2

，若a∈(

1

2

，1)，a₂=2a∈（1，2]，a3=1-

1

2a

∈(

1

2

，

3

4

]，a4=1-

1

a

．由此能求出a=1．

解答：解：a₁=a∈（0，1]，a₂=2a，
①若a∈(0，

1

2

]，a₂=2a∈（0，1]，
a₃=4a，
a4=

8a，0＜a≤ 1 4 1- 1 4a ， 1 4 ＜a≤ 1 2

．
由a₄=a₁=a得

1

4

＜a≤

1

2

，
且1-

1

4a

=a，
故a=

1

2

，此時經(jīng)檢驗對任意的n∈N^*，總有a_n+3=a_n．
②若a∈(

1

2

，1)，
a₂=2a∈（1，2]，
a3=1-

1

2a

∈(

1

2

，

3

4

]，
a4=1-

1

a

．
由a₄=a₁=a得a=1，此時經(jīng)檢驗對任意的n∈N^*，總有a_n+3=a_n．
故a=

1

2

或a=1．
故選B．

點評：本題考查數(shù)列的遞推式的應用，解題時要認真審題，注意分類討論思想的靈活運用．