Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=k（x-1）．
（Ⅰ）若f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)k的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=g（x）有一根為x₁（x₁＞1），方程f′（x）=g′（x）的根為x₀，是否存在實(shí)數(shù)k，使

x1

x0

=k？若存在，求出所有滿足條件的k值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于

f(x)

x

≥

g(x)

x

恒成立，設(shè)h（x）=lnx-

k(x-1)

x

（x＞0），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的最小值h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0，再構(gòu)造u（x）=lnx-x+1（x＞0），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論，由（Ⅰ）知當(dāng)k≤0或k=1時(shí)，f（x）=g（x），即h（x）=0僅有唯一解x=1，不合題意；當(dāng)0＜k＜1時(shí)，h（x）是（k，+∞）上的增函數(shù)，對(duì)x＞1，有h（x）＞h（1）=0，所以f（x）=g（x）沒有大于1的根，不合題意；當(dāng)k＞1時(shí)，由f′（x）=g′（x）解得x₀=e^k-1，若存在x₁=kx₀=ke^k-1，則lnk-1+e^1-k=0，證明lnk-1+e^1-k=0在（1，+∞）無解，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（Ⅰ）注意到函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），
所以f（x）≥g（x）恒成立，等價(jià)于

f(x)

x

≥

g(x)

x

恒成立，
設(shè)h（x）=lnx-

k(x-1)

x

（x＞0），
則h′（x）=

x-k

x2

，------------（2分）
當(dāng)k≤0時(shí)，h′（x）＞0對(duì)x＞0恒成立，所以h（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)，
注意到h（1）=0，所以0＜x＜1時(shí)，h（x）＜0不合題意．-------（4分）
當(dāng)k＞0時(shí)，若0＜x＜k，h′（x）＜0；若x＞k，h′（x）＞0．
所以h（x）是（0，k）上的減函數(shù)，是（k，+∞）上的增函數(shù)，
故只需h（x）_min=h（k）=lnk-k+1≥0．--------（6分）
令u（x）=lnx-x+1（x＞0），u′（x）=

1-x

x

，
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，u′（x）＞0； 當(dāng)x＞1時(shí)，u′（x）＜0．
所以u(píng)（x）是（0，1）上的增函數(shù)，是（1，+∞）上的減函數(shù)．
故u（x）≤u（1）=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)等號(hào)成立．
所以當(dāng)且僅當(dāng)k=1時(shí)，h（x）≥0成立，即k=1為所求．--------（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知當(dāng)k≤0或k=1時(shí)，f（x）=g（x），即h（x）=0僅有唯一解x=1，不合題意；
當(dāng)0＜k＜1時(shí)，h（x）是（k，+∞）上的增函數(shù)，對(duì)x＞1，有h（x）＞h（1）=0，
所以f（x）=g（x）沒有大于1的根，不合題意．---------（8分）
當(dāng)k＞1時(shí)，由f′（x）=g′（x）解得x₀=e^k-1，若存在x₁=kx₀=ke^k-1，
則lnk-1+e^1-k=0，
令v（x）=lnx-1+e^1-x，v′(x)=

ex-ex

xex

，
令s（x）=e^x-ex，s′（x）=e^x-e，當(dāng)x＞1時(shí)，總有s′（x）＞0，
所以s（x）是（1，+∞）上的增函數(shù)，即s（x）=e^x-ex＞s（1）=0，
故v′（x）＞0，v（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
所以v（x）＞v（1）=0，即lnk-1+e^1-k=0在（1，+∞）無解．
綜上可知，不存在滿足條件的實(shí)數(shù)k．----------------------（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的構(gòu)造，考查函數(shù)的最值，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于難題．