Question

（2012•泉州模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足a1=1，an+1=

an

an+1

，(n≥1)，數(shù)列{b_n}滿足b_n=lna_n，數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n+b_n．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）試比較

n

i=1

(ai-1)與

n

i=1

bi的大小，并說明理由；
（3）我們知道數(shù)列{a_n}如果是等差數(shù)列，則公差d=

an-am

n-m

(n≠m)是一個常數(shù)，顯然在本題的數(shù)列{c_n}中，

cn-cm

n-m

(n≠m)不是一個常數(shù)，但

cn-cm

n-m

(n≠m)是否會小于等于一個常數(shù)k呢？若會，求出k的取值范圍；若不會，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由an+1=

an

an+1

，兩邊取倒數(shù)得

1

an+1

=

1

an

+1，移向得

1

an+1

-

1

an

=1，判斷出{

1

an

}是等差數(shù)列，求出{

1

an

}的通項公式后即可求出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由（1）得 an-1=

1

n

-1，bn=ln

1

n

，考慮到兩個和式不易化簡或作差比較，為此采用逐項大小比較的辦法．構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，求導研究出f（x）的單調(diào)性，
可得出ln

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，當且僅當i=1時取等號．從而

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，當且僅當n=1時取等號．
（3）由（1）知cn=

1

n

+ln

1

n

，易知{c_n}是一個遞減數(shù)列，取n=m+1，則

cn-cm

n-m

=cn-cm=(

1

m+1

+ln

1

m+1

)-(

1

m

+ln

1

m

)=-

1

(m+1)m

+ln(1-

1

m+1

)→0 (m→+∞)
所以k的取值范圍是[0，+∞）．

解答：解：（1）由an+1=

an

an+1

兩邊取倒數(shù)，得：

1

an+1

=

1

an

+1⇒

1

an+1

-

1

an

=1，
∴{

1

an

}是等差數(shù)列，首項

1

a1

=1，公差d=1；
∴

1

an

=n，從而an=

1

n

，
（2）由（1）得 an-1=

1

n

-1，bn=ln

1

n

，
構(gòu)造函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
則f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

當0＜x＜1時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當x＞1時，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減，
∴f（x）≤f（1）=0，
即?x＞0，lnx≤x-1，當且僅當x=1時取等號，
∴ln

1

i

≤

1

i

-1，即b_i≤a_i-1，當且僅當i=1時取等號，
∴

n

i=1

(ai-1)≥

n

i=1

bi，當且僅當n=1時取等號，
（3）由（1）知cn=

1

n

+ln

1

n

，顯然{c_n}是一個遞減數(shù)列，
∴

cn-cm

n-m

＜0對 n≠m，n∈N₊，m∈N₊恒成立．
取n=m+1，
則

cn-cm

n-m

=cn-cm=(

1

m+1

+ln

1

m+1

)-(

1

m

+ln

1

m

)=-

1

(m+1)m

+ln(1-

1

m+1

)→0 (m→+∞)
∴存在k滿足

cn-cm

n-m

＜k (n≠m)恒成立，k的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題是函數(shù)與導數(shù)、數(shù)列、不等式的綜合．考查構(gòu)造（新數(shù)列，函數(shù)）、轉(zhuǎn)化、計算、推理論證能力．